Question

11．己知線段a及∠α（∠α＜90°）
〔1）作等腰△ABC并使得所作等腰△ABC腰長為a，且有內(nèi)角等于∠α（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）若a=4，∠α=30°，求（1）中所作△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）作∠MBN=α，在BN上截取BA=a，然后以A點(diǎn)為圓心，a為半徑畫弧交BM于C，則△ABC滿足條件，如圖1；作∠A=∠α，再在∠A的兩邊截取AB=AC=a，則△ABC滿足條件，如圖2；
（2）對(duì)于圖1，作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出AD、BD，然后根據(jù)三角形面積公式求解，；同樣方法可計(jì)算出圖2中的△ABC的面積．

解答 解：（1）如圖1和如圖2，△ABC為所作；
（2）如圖1，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=4，
∴BD=CD，
∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
如圖2，作BD⊥AC于D，
則BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．