Question

【題目】如圖，在矩形中，、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）求證：．

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若，，求四邊形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行且的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BEAD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等和矩形對(duì)邊相等即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OB=OC=OG，利用勾股定理求出BC，CO的長(zhǎng)．證明BF為△CEG的中位線，再由三角形中位線定理可得EG=2BF，最后根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．

（1）∵AE∥DB，AD∥EB，∴四邊形BEAD是平行四邊形，∴BE=DA．

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∴BE=BC；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OCAC．

∵AE∥DB，CF⊥BO，∴CG⊥AE，∴GO為Rt△CGA斜邊的中線，∴GOAC=OB，∴BO+OG=BD．

∵CF=6，BF=3，∴BE=BC=．

設(shè)CO=x，則FO=BO-BF=x-3．在Rt△CFO中，∵，∴，解得：x=7.5，∴BO+OG=BD=2x=15．

∵OG=CO，OF⊥CG，∴FG=CF=6．

∵CB=BE，∴BF為△CEG的中位線，∴EG=2BF=6，∴四邊形BOGE的周長(zhǎng)=BO+OG+EG+EB=15+6+=．