Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，AD=AB，BE⊥DC于點E，CA的垂線AF交AB的延長線于點F，連接CF，求∠ACF的度數(shù)．

Answer 1

解：∵AF⊥AC，BC⊥AC，
∴BC∥AF，
∴∠EBC=∠AFB，
∵EF⊥DE，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠DCA=∠AFE，又AD⊥AB，
∴∠DAC+∠CAB=90°，∠BAF+∠CAB=90°，
∴∠DAC=∠BAF，
∴在△DAC和△BAF中，
，
∴△DAC≌△BAF（AAS），
∴AC=AF，
∵AF⊥AC，
∴∠CAF=90°，
∴∠ACF=45°．
分析：由垂直定義可求出相關(guān)的直角和直角三角形，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠DCA=∠EBC，∠DAC=∠BAF，然后根據(jù)AF⊥AC，BC⊥AC，推出BC∥AF，可得∠EBC=∠AFE，通過等量代換后得∠DCA=∠AFE，根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”，通過求證△DAC≌△BAF，推出AC=AF后，根據(jù)AF⊥AC，即可求出∠ACF=45°．
點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出相等的角，求證△DAC≌△BAF．