Question

11、如圖，延長四邊形ABCD的四邊分別至E、F、G、H，使AB=nBE，BC=nCF，CD=nDG，DA=nAH（n＞0），則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積之比為

（n²+2n+2）：n²

（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：連接BH，BD，DF，根據等高的兩個三角形面積比等于底邊之比，設S_△BEH=a，則S_△ABH=na，S_△ABD=an²，同理設S_△DFG=b，則S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，從而得（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四邊形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，同理可證（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，再求（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（2n+2）：n²，根據S_{四邊形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四邊形ABCD}求解．

解答：解：連接BH，BD，DF，
設S_△BEH=a，則S_△ABH=na，S_△ABD=an²，
同理設S_△DFG=b，則S_△CDF=bn，S_△BCD=bn²，
∴（S_△AEH+S_△CFG）：S_{四邊形ABCD}=（a+an+b+bn）：（an²+bn²）=（n+1）：n²，
同理可證（S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（n+1）：n²，
∴（S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF）：S_{四邊形ABCD}=（2n+2）：n²，
∵S_{四邊形EFGH}=S_△AEH+S_△CFG+S_△HGD+S_△BEF+S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形EFGH}：S_{四邊形ABCD}=（n²+2n+2）：n²．
故答案為：（n²+2n+2）：n²．

點評：本題考查了運用求三角形面積的方法求四邊形面積之比的問題．關鍵是作輔助線，將四邊形的面積轉化為三角形的面積，利用等高的兩個三角形面積比等于底邊之比求解．