Question

10．在平面直角坐標系中，直角梯形AOBC的位置圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別在線段AC、線段BC上運動，當△MON的面積達到最大時，存在一種使得△MON周長最小的情況，則此時點M的坐標為（3，4）．

Answer 1

分析 過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，因為QN取得最大值是QN=OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時△OMN面積最大，周長最�。�

解答 解：如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，
則S_△MON=S_△OMP+S_△NMP=$\frac{1}{2}$MP•QG+$\frac{1}{2}$MP•NG=$\frac{1}{2}$MP•QN，
∵MP≤OA，QN≤OB，
∴當點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=$\frac{1}{2}$OA•OB，
設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，
此時△MON的面積最大，周長最短，
∵AM∥BO
∴$\frac{AD}{OD}$=$\frac{AM}{OB}$，即$\frac{4}{8}$=$\frac{AM}{6}$
∴AM=3，
∴M（3，4）．

點評 本題考查了直角梯形的性質，坐標和圖形的性質，軸對稱的性質等，作出輔助線是本題的關鍵．