Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=75°，點(diǎn)I是兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．
（1）求∠BIC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D是兩條外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求∠BDC的度數(shù)；
（3）若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線(xiàn)交點(diǎn)，試探索∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠CBI=∠ABC=×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠BCI=∠ACB=×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．

（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分線(xiàn)，
∴∠CBD=∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分線(xiàn)，
∴∠BCD=∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=（∠MBC+∠NCB）=×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．

（3）∵BE是∠ABC的平分線(xiàn)，
∴∠CBE=∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分線(xiàn)，
∴∠ECG=（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．
分析：（1）求∠BIC的度數(shù)，在△BCI，只要求出∠CBI+∠BCI的度數(shù)；角平分線(xiàn)的定義得，∠CBI=∠ABC，∠BCI=∠ACB；由三角形內(nèi)角和定理，∠BAC=40°，∠ACB=75°得∠ABC的度數(shù)；
（2）三角形內(nèi)角和定理求得∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）；由角平分線(xiàn)性質(zhì)，∠CBD=∠MBC，∠BCD=∠NCB，∴∠CBD+∠BCD=（∠MBC+∠NCB）；利用三角形外角性質(zhì)得，∠MBC=∠A+∠ACB，∠NCB=∠A+∠ABC，從而得出∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A；
（3）點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線(xiàn)交點(diǎn)得∴∠CBE與其它角的關(guān)系，∠ECG是△BCE的外角得知，∠ECG=∠CBE+∠BEC，∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠BEC，從而得∠BAC=2∠BEC．
點(diǎn)評(píng)：考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，外角性質(zhì)．