(2013•桂林模擬)如圖所示,AB為⊙O的直徑且PA⊥AB,BC是⊙O的一條弦,直線PC交直線AB于點D,
DC
DP
=
DB
DO
=
2
3

(1)請判斷△CDB和△PDO是否相似,并說明理由.
(2)求證:直線PC是⊙O的切線.
(3)求cos∠CBA的值.
分析:(1)根據(jù)相似三角形的判定推出即可;
(2)連接OC,求出∠COP=∠AOP,證△COP≌△AOP,推出∠OCP=∠OAP=90°,根據(jù)切線的判定推出即可;
(3)求出∠CBA=∠POA,設(shè)PC=a,則CD=2a,求出AD=2
2
a,DB=BA=
2
a,OA=
2
2
a,OP=
6
2
a,通過解直角三角形求出即可.
解答:(1)解:△CDB和△PDO相似,
理由是:∵
DC
DP
=
DB
DO
,∠D=∠D,
∴△DCB∽△DPO;

(2)證明:連接OC,
∵△DCB∽△DPO,
∴∠DCB=∠DPO,
∴BC∥OP,
∴∠CBO=∠POA,∠BCO=∠COP,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠BCO,
∴∠COP=∠AOP,
在△COP和△AOP中
OC=OA
∠COP=∠AOP
OP=OP

∴△COP≌△AOP(SAS),
∴∠OCP=∠OAP,
∵PA⊥AB,
∴∠OCP=∠OAP=90°,
∵OC為半徑,
∴直線PC是⊙O的切線;

(3)解:∵BC∥OP,
∴∠CBA=∠POA,
設(shè)PC=a,則CD=2a,
∵PA=PC=a,
AD=2
2
a,
∵BC∥OP,
DB
BO
=2,
∴DB=BA=
2
a,
∴OA=
2
2
a,
∴OP=
6
2
a,
∴cos∠CBA=cos∠POA=
3
3
點評:本題考查了平行線的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定,解直角三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力.
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2
x
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x
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4
4

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