Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D、T是圓上的兩點，且AT平分∠BAD，過點T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4，TC=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OT，如圖所示：
∵AT平分∠BAD，∴∠BAT=∠CAT，
又∵OA=OT，∴∠OTA=∠BAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，又AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切線；

（2）解：連接OD，TD，過O作OM⊥AC垂足為M，如圖所示：
∵OM=TC=2，OA=4，OM⊥AC，
∴sin∠OAM==，故∠OAM=60°，
∴∠OAT=∠COT=∠ATD=30°，∠TOD=60°，
又∠DCT=90°，∴∠ATC=60°，
∴∠DTC=30°，TC=2，
∴DC=2，
∴S_陰影=S_梯形CDOT-S_扇形OTD
=-
=6-．
分析：（1）連接OT，由AT平分∠BAD，根據(jù)角平分線定義得到∠BAT與∠CAT相等，再由半徑OA與OT相等，根據(jù)等邊對等角得到∠OTA與∠BAT相等，等量代換得到內(nèi)錯角∠OTA與∠CAT相等，所以O(shè)T與PQ平行，由AC與PQ垂直，根據(jù)平面上與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OT與PQ垂直，則PQ為⊙O的切線；
（2）連接OM，OD，TD，過O作OM⊥AC，由OM和OA的長，利用正弦函數(shù)定義求出∠OAD的度數(shù)，進而求出∠ATC和∠TOD的度數(shù)，得到∠DTC的度數(shù)，在直角三角形TDC中，由TC的長求出DC的長，然后陰影部分的面積等于梯形CDOT的面積減去扇形OTD的面積，分別利用梯形的面積公式和扇形的面積公式，求出即可．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了扇形的面積公式為S=（n為扇形的圓心角，R為扇形的半徑）．陰影部分的面積求法：當(dāng)陰影部分是規(guī)則圖形時，利用規(guī)則圖形的面積公式來求；當(dāng)陰影部分是不規(guī)則圖形時，一般利用割補的方法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形間接來求．