Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與直線y＝mx＋n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0,）和（m－b，m²－mb＋n），其中a，b，c，m，n為實(shí)數(shù),且a，m不為0．
（1）求c的值；
（2）設(shè)拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；
（3）當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y＝ax²＋bx＋c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x_o，y_o ），求這時(shí)｜y_o｜的最小值．

Answer 1

解:
(1)∵（0，）在y＝ax²＋bx＋c上，∴ ＝a×0²＋b×0＋c， ∴ c＝.(1分)
(2)又可得 n＝.
∵ 點(diǎn)（m－b，m²－mb＋n）在y＝ax²＋bx＋c上，
∴ m²－mb＝a（m－b）²＋b（m－b），
∴（a－1）（m－b）²＝0， （2分）
若（m－b）＝0，則（m－b， m²－mb＋n）與（0，）重合，與題意不合．
∴ a＝1．（3分，只要求出a＝1，即評(píng)3分）
∴拋物線y＝ax²＋bx＋c，就是y＝x²＋bx．
△＝b²－4ac＝b²－4×（）＞0，（沒(méi)寫出不扣分）
∴拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是關(guān)于x的二次方程0＝ax²＋bx＋c的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂＝． （4分）
(3)拋物線y＝x²＋bx的對(duì)稱軸為x＝，最小值為．（沒(méi)寫出不扣分）
設(shè)拋物線y＝x²＋bx在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為H，在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h．
①當(dāng)<－1，即b＞2時(shí)，在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，y_o），
∴｜H｜＝y(tǒng)_o＝＋b＞，    (5分)
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是（－1，y_o），
∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜－b｜＝b－＞， (6分) 
∴｜H｜＞｜h｜．∴這時(shí)｜y_o｜的最小值大于.    (7分)
② 當(dāng)－1≤≤0，即0≤b≤2時(shí)，
在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（1，y_o），
∴｜H｜＝y(tǒng)_o＝＋b≥，當(dāng)b＝0時(shí)等號(hào)成立.
在x軸下方與x軸距離最大點(diǎn)的是 （，），
∴｜h｜＝｜｜＝≥，當(dāng)b＝0時(shí)等號(hào)成立.
∴這時(shí)｜y_o｜的最小值等于.    (8分)
③ 當(dāng)0＜≤1，即－2≤b＜0時(shí),
在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（－1，y_o），
∴｜H｜＝y(tǒng)_o＝｜1＋（－1）b｜＝｜－b｜＝－b＞
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是 （，），
∴｜h｜＝｜y_o｜＝｜｜＝＞.
∴ 這 時(shí) ｜y_o｜的 最 小 值 大 于 .   (9分)
④ 當(dāng)1＜，即b＜－2時(shí)，
在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是（－1，y_o），∴｜H｜＝－b＞,
在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是(1，y_o)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，
∴｜H｜＞｜h｜,∴這時(shí)｜y_o｜的最小值大于.    (10分)
綜上所述，當(dāng)b＝0，x₀＝0時(shí)，這時(shí)｜y_o｜取最小值，為｜y_o｜＝.       (11分)

解析