Question

8．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，C，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DB⊥x軸于點(diǎn)B，若0B=2．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)E在已知反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)E在直線DB的右側(cè)，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)E使得△BEF與△AOC相似？若存在．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出D點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入一次函數(shù)解析式即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）分別利用當(dāng)△EBF∽△ACO時(shí)，以及當(dāng)△EBF∽△CAO時(shí)，表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案．

解答 解：（1）∵OB=2，
∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，
x=2時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×2+2=3，
∴D（2，3），故xy=6，
∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{6}{x}$；

（2）∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，C，
∴y=0時(shí)，0=$\frac{1}{2}$x+2，解得：x=-4，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴CO=2，AO=-4，
當(dāng)△EBF∽△ACO時(shí)，$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AO}{CO}$=2，
設(shè)BF=m，則EF=2m，E（2+m，2m），
代入y=$\frac{6}{x}$得，m₁=-3（舍），m₂=1，E（3，2）．
當(dāng)△EBF∽△CAO時(shí)，
同理得：BF=2EF，設(shè)EF=n，BF=2n，得：E（2+2n，n），
代入y=$\frac{6}{x}$得：n=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$（舍去負(fù)值），
則2+2n=$\sqrt{13}$+1，
故E（$\sqrt{13}$+1，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$），
綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，2），（$\sqrt{13}$+1，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，利用分類討論得出符合題意的E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．