Question

8．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+2分別交x軸、y軸于點A，C，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內相交于點D，過點D作DB⊥x軸于點B，若0B=2．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）設點E在已知反比例函數(shù)的圖象上，且點E在直線DB的右側，作EF⊥x軸于點F，是否存在點E使得△BEF與△AOC相似？若存在．求點E的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出D點橫坐標，進而代入一次函數(shù)解析式即可得出D點坐標，即可得出反比例函數(shù)解析式；
（2）分別利用當△EBF∽△ACO時，以及當△EBF∽△CAO時，表示出E點坐標，進而求出答案．

解答 解：（1）∵OB=2，
∴D點橫坐標為：2，
x=2時，y=$\frac{1}{2}$×2+2=3，
∴D（2，3），故xy=6，
∴這個反比例函數(shù)的表達式為：y=$\frac{6}{x}$；

（2）∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2分別交x軸、y軸于點A，C，
∴y=0時，0=$\frac{1}{2}$x+2，解得：x=-4，當x=0時，y=2，
∴CO=2，AO=-4，
當△EBF∽△ACO時，$\frac{EF}{BF}$=$\frac{AO}{CO}$=2，
設BF=m，則EF=2m，E（2+m，2m），
代入y=$\frac{6}{x}$得，m₁=-3（舍），m₂=1，E（3，2）．
當△EBF∽△CAO時，
同理得：BF=2EF，設EF=n，BF=2n，得：E（2+2n，n），
代入y=$\frac{6}{x}$得：n=$\frac{-1±\sqrt{13}}{2}$（舍去負值），
則2+2n=$\sqrt{13}$+1，
故E（$\sqrt{13}$+1，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$），
綜上所述：E點坐標為：（3，2），（$\sqrt{13}$+1，$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質等相關知識，利用分類討論得出符合題意的E點坐標是解題關鍵．