Question

如圖所示，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的一邊AD與x軸平行，且邊BC，邊AD與二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象分別交于點(diǎn)E、F和點(diǎn)A、G，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，m），鏈結(jié)AE，tan∠BAE=

1

2

．
（1）求m的值及二次函數(shù)的解析式；
（2）求出sin∠EAF的值；
（3）設(shè)圖象的頂點(diǎn)為M，聯(lián)結(jié)ME、MB，若△MFC與△MEB相似，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,勾股定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：綜合題,分類(lèi)討論

分析：（1）在Rt△ABE中運(yùn)用三角函數(shù)可求出m的值，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H，如圖1．運(yùn)用勾股定理可求出AE、AF的值，然后在△AEF中運(yùn)用面積法可求出EH的值，就可解決問(wèn)題；
（3）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EF于N，如圖2．易得點(diǎn)M（

5

2

，

17

4

），求出MN，由對(duì)稱(chēng)性可得ME=MF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EN=NF=

1

2

，然后運(yùn)用勾股定理可求出ME、MF，由ME=MF可得∠MEF=∠MFE，則有∠MEB=∠MFC．據(jù)此△MFC與△MEB相似可分兩種情況（①若△MFC∽△MEB，②若△MFC∽△BEM）討論，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出FC，就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°．
∵A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，m），
∴BE=2-1=1，AB=m-2．
在Rt△ABE中，
∵tan∠BAE=

BE

AB

=

1

2

，
∴

1

m-2

=

1

2

，
解得：m=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）．
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，4）、點(diǎn)A（1，2），
∴

-4+2b+c=4 -1+b+c=2

，
解得：

b=5 c=-2

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+5x-2；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AF于點(diǎn)H，如圖1．
當(dāng)y=4時(shí)，-x²+5x-2=4，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4），
∴EF=1．BF=3-1=2，
∴AF=

AB2+BF2

=

22+22

=2

2

．
∵S_△AEF=

1

2

EF•AB=

1

2

AF•EH，
∴EH=

EF•AB

AF

=

1×2

2 2

=

2

2

．
在Rt△ABE中，
AE=

AB2+BE2

=

22+12

=

5

，
在Rt△AHE中，
sin∠EAH=

EH

AE

=

2 2

5

=

10

10

．

（3）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EF于N，如圖2．
由y=-x²+5x-2=-（x-

5

2

）²+

17

4

可得點(diǎn)M（

5

2

，

17

4

），
∴MN=

17

4

-4=

1

4

．
由對(duì)稱(chēng)性可得ME=MF，
∴EN=NF=

1

2

EF=

1

2

，
∴ME=MF=

MN2+NF2

=

( 1 4 )2+( 1 2 )2

=

5

4

．
∵M(jìn)E=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠MEB=∠MFC．
①若△MFC∽△MEB，
則

FC

EB

=

MF

ME

=1，
∴FC=EB=．
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3+1，4）即（4，4）；
②若△MFC∽△BEM，
則

FC

EM

=

MF

BE

，
∴FC•BE=MF•EM，
∴FC×1=

5

4

×

5

4

，
∴FC=

5

16

．
∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3+

5

16

，4）即（

53

16

，4）．
綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，4）或（

53

16

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性，構(gòu)造Rt△AHE是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論是解決第（3）小題的關(guān)鍵．