Question

如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O、A不重合），連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D，且PM=CP，過(guò)點(diǎn)M作MN∥OA，交BO于點(diǎn)N，連接ND、BM，設(shè)OP=t．

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）試判斷線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變？并說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BNDM的面積最小．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）作ME⊥x軸于E，則∠MEP=90°，先證出∠PME=∠CPO，再證明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接AM，先證明四邊形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，證出四邊形OAMN是平行四邊形，即可得出MN=OA=4；

（3）先證明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四邊形BNDM的面積S是關(guān)于t的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．

【解答】解：（1）作ME⊥x軸于E，如圖1所示：

則∠MEP=90°，ME∥AB，

∴∠MPE+∠PME=90°，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，

∵PM⊥CP，

∴∠CPM=90°，

∴∠MPE+∠CPO=90°，

∴∠PME=∠CPO，

在△MPE和△PCO中，，

∴△MPE≌△PCO（AAS），

∴ME=PO=t，EP=OC=4，

∴OE=t+4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（t+4，t）；

（2）線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生改變；理由如下：

連接AM，如圖2所示：

∵M(jìn)N∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，

∴四邊形AEMF是矩形，

又∵EP=OC=OA，

∴AE=PO=t=ME，

∴四邊形AEMF是正方形，

∴∠MAE=45°=∠BOA，

∴AM∥OB，

∴四邊形OAMN是平行四邊形，

∴MN=OA=4；

（3）∵M(jìn)E∥AB，

∴△PAD∽△PEM，

∴，

即，

∴AD=﹣t²+t，

∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t²+t）=t²﹣t+4，

∵M(jìn)N∥OA，AB⊥OA，

∴MN⊥AB，

∴四邊形BNDM的面積S=MN•BD=×4（t²﹣t+4）=（t﹣2）²+6，

∴S是t的二次函數(shù)，

∵＞0，

∴S有最小值，

當(dāng)t=2時(shí)，S的值最�。�

∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形BNDM的面積最小．

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四邊形面積的計(jì)算以及二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要證明四邊形是正方形、平行四邊形、三角形相似以及運(yùn)用二次函數(shù)才能得出結(jié)果．