Question

6．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交DC于點(diǎn)E，交AD延長線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得∠AED=30°，進(jìn)而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE，再根據(jù)陰影FDE的面積S₁=S_扇形AEF-S_△ADE、陰影ECB的面積S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE列式計(jì)算即可得解．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴AB=2DA，AB=AE（扇形的半徑），
∴AE=2DA，
∴∠AED=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵DA=2
∴AB=2DA=4，
∴AE=4，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-D{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴陰影FDE的面積S₁=S_扇形AEF-S_△ADE=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$．
陰影ECB的面積S₂=S_矩形-S_△ADE-S_扇形ABE=2×4-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{30π×{4}^{2}}{360}$=8-2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π；．
則圖中陰影部分的面積為=8-2$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π+$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$=8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．
故答案為：8-4$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出∠AED=30°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．