Question

如圖（1）所示一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿對角線BD把這紙片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂兩個三角形如圖（2），將△AB₁D₁沿直線AB₁方向平移在平移過程中，（點(diǎn)B₂始終在AB₁上，AB₁與CD₂始終保持平行）當(dāng)點(diǎn)A與B₂重合時(shí)停止平移在平移過程中，AD₁與B₂D₂交于點(diǎn)E，B₂C與B₁D₁交于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)△AB₁D₁平移到圖3時(shí)，試判斷四邊形B₂FD₁E是什么四邊形并說明理由；
（2）設(shè)平移距離B₂B₁=x，四邊形B₂FD₁E的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求四邊形B₂FD₁E的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)該是矩形，首先我們知道D₁FB₂E應(yīng)該是平行四邊形，那么根據(jù)AB，AC，BD的長，我們可判斷出三角形ABD和DBC都是直角三角形且∠ADB=∠CBD=90°，因此AD₁⊥D₁B₁，因此是矩形．
（2）要求解面積就要知道矩形的長和寬，我們可在直角三角形B₁B₂F中，用B₁B₂和∠B₁的正弦值求出B₂F，同理可用AB₂和∠A的正弦值求出B₂E，那么就能根據(jù)矩形的面積公式求出y，x的函數(shù)關(guān)系式了，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出矩形的最大的面積．
解答：解：
（1）矩形．
證明：
∵AD₁∥B₂C，D₁B₁∥D₂B₂
∴四邊形ED₁FB₂是平行四邊形
在三角形ABD中AB=10，AD=6，BD=8
∴AB₂=AD₂+BD₂
因此三角形ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠AD₁B₁=90°
∴四邊形ED₁FB₂是矩形．

（2）∵B₂B₁=x
∴AB₂=10-x
直角三角形B₁B₂F中，sin∠B₁==，B₂B₁=x
∴B₂F=B₂B₁•sin∠B₁=x
同理可得B₂E=8-x
∴y=B₂F•B₂E=x•（8-x）
即：y=（x-5）²+12（0＜x＜10）
因此當(dāng)x=5時(shí)，y_max=12
即矩形的最大的面積是12．
點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)原平行四邊形對角線和兩邊長，得出平行四邊形的對角線平分的兩個三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵．