【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過A(3,0)、B(4,4)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將直線OB向下平移m個單位長度后,得到的直線與拋物線只有一個公共點D,求m的值及點D的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點N在拋物線上,且∠NBO=∠ABO,則在(2)的條件下,求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標(biāo)(點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng)).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過A(3,0)、B(4,4)
∴將A與B兩點坐標(biāo)代入得: ,
解得: ,
∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x
(2)
解:設(shè)直線OB的解析式為y=k1x,由點B(4,4),
得:4=4k1,解得:k1=1
∴直線OB的解析式為y=x,
∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為:y=x﹣m,
∵點D在拋物線y=x2﹣3x上,
∴可設(shè)D(x,x2﹣3x),
又∵點D在直線y=x﹣m上,
∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,
∵拋物線與直線只有一個公共點,
∴△=16﹣4m=0,
解得:m=4,
此時x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,
∴D點的坐標(biāo)為(2,﹣2)
(3)
解:∵直線OB的解析式為y=x,且A(3,0),
∴點A關(guān)于直線OB的對稱點A′的坐標(biāo)是(0,3),
根據(jù)軸對稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO,
設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3,過點(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2= ,
∴直線A′B的解析式是y= ,
∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO,
∴BA′和BN重合,
即點N在直線A′B上,
∴設(shè)點N(n, ),又點N在拋物線y=x2﹣3x上,
∴ =n2﹣3n,
解得:n1=﹣ ,n2=4(不合題意,舍去)
∴N點的坐標(biāo)為(﹣ , ).
方法一:
如圖1,將△NOB沿x軸翻折,得到△N1OB1,
則N1(- ,- ),B1(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直線y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1,
∴△P1OD∽△N1OB1,
∴ ,
∴點P1的坐標(biāo)為(- ,- ).
將△OP1D沿直線y=﹣x翻折,可得另一個滿足條件的點P2( , ),
綜上所述,點P的坐標(biāo)是(- ,- )或( , ).
方法二:
如圖2,將△NOB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△N2OB2,
則N2( , ),B2(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直線y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N2OB2,
∴△P1OD∽△N2OB2,
∴ ,
∴點P1的坐標(biāo)為( , ).
將△OP1D沿直線y=﹣x翻折,可得另一個滿足條件的點P2(- ,- ),
綜上所述,點P的坐標(biāo)是(- ,- )或( , ).
方法三:
∵直線OB:y=x是一三象限平分線,
∴A(3,0)關(guān)于直線OB的對稱點為A′(0,3),
∴ 得:x1=4(舍),x2=﹣ ,
∴N(﹣ , ),
∵D(2,﹣2),∴l(xiāng)OD:y=﹣x,
∵lOD:y=x,
∴OD⊥OB,
∵△POD∽△NOB,
∴N(﹣ , )旋轉(zhuǎn)90°后N1( , )或N關(guān)于x軸對稱點N2(﹣ ,﹣ ),
∵OB=4 ,OD=2 ,
∴ ,
∵P為ON1或ON2中點,
∴P1( , ),P2(- ,- ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;(2)根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x,則向下平移m個單位長度后的解析式為:y=x﹣m.由于拋物線與直線只有一個公共點,意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程,其根的判別式等于0,由此可求出m的值和D點坐標(biāo);(3)綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解.方法一:翻折變換,將△NOB沿x軸翻折;方法二:旋轉(zhuǎn)變換,將△NOB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°.特別注意求出P點坐標(biāo)之后,該點關(guān)于直線y=﹣x的對稱點也滿足題意,即滿足題意的P點有兩個,避免漏解.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:數(shù)軸上、兩點表示的有理數(shù)分別為、,且,
求的值.
數(shù)軸上的點與、兩點的距離的和為,求點在數(shù)軸上表示的數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點O在線段AB上,AO=2,OB=1,OC為射線,且∠BOC=60°,動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā),沿射線OC做勻速運動,設(shè)運動時間為t秒.
(1)當(dāng)t= 秒時,則OP= , S△ABP=;
(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時,求t的值;
(3)如圖2,當(dāng)AP=AB時,過點A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求證:AQBP=3.
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【題目】某種型號油電混合動力汽車,從A地到B地燃油行駛純?nèi)加唾M用76元,從A地到B地用電行駛純電費用26元,已知每行駛1千米,純?nèi)加唾M用比純用電費用多0.5元.
(1)求每行駛1千米純用電的費用;
(2)若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過39元,則至少用電行駛多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點,連接BE并延長與AD的延長線相交于點F.
(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.
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【題目】 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D,AD交⊙O于點E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°,CD=2 ,求AE的長.
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【題目】
(1)如圖1,點E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求證:△ABF≌△CDE
(2)如圖2,方格紙中的每個小方格是邊長為1個單位長度的正方形. ①畫出將Rt△ABC向右平移5個單位長度后的Rt△A1B1C1
②再將Rt△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2 , 并求出旋轉(zhuǎn)過程中線段A1C1所掃過的面積(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八(2)班組織了一次經(jīng)典朗讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績?nèi)缦卤恚?0分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊成績的中位數(shù)是分,乙隊成績的眾數(shù)是分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4分2 , 則成績較為整齊的是隊.
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為6,點B表示的數(shù)為﹣4,點C是AB的中點,動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,設(shè)運動時間為x秒(x>0).
(1)當(dāng)x= 秒時,點P到達點A;
(2)運動過程中點P表示的數(shù)是 (用含x的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)P,C之間的距離為2個單位長度時,求x的值.
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