Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+42 交x 軸于點A ，交直線y=x 于點B ，拋物線y=ax²-2x+c 分別交線段AB 、OB 于點C 、D ，點C 和點D 的橫坐標(biāo)分別為16 和4 ，點P 在這條拋物線上。
（1）求點C、D的縱坐標(biāo)；
（2）求a、c的值；
（3）若Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長；
（4）若Q為線段OB 或線段AB上一點，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點間的距離為d（d ＞0 ），點Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m 的增大而減小時m的取值范圍。[ 參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c （a ≠0 ）圖象的頂點坐標(biāo)為]

Answer 1

解：（1 ）∵點C 在直線AB：y=-2x+42 上，且C 點的橫坐標(biāo)為16 ，
∴y=-2 ×16+42=10 ，即點C 的縱坐標(biāo)為10 ；
∵D 點在直線OB ：y=x 上，且D 點的橫坐標(biāo)為4 ，
∴點D 的縱坐標(biāo)為4 ；
（2）由（1 ）知點C 的坐標(biāo)為（16 ，10 ），點D 的坐標(biāo)為（4 ，4 ），
∵拋物線y=ax²-2x+c 經(jīng)過C 、D 兩點，
∴，
解得：a=，c=10 ，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+10 ；
（3）∵Q 為線段OB 上一點，縱坐標(biāo)為5 ，
∴P 點的橫坐標(biāo)也為5 ，
∵點Q 在拋物線上，縱坐標(biāo)為5 ，
∴x²-2x+10=5 ，
解得x₁=8+2，x₂=8-2，
當(dāng)點Q 的坐標(biāo)為（8+2，5 ），點P 的坐標(biāo)為（5 ，5 ），線段PQ 的長為2+3 ，
當(dāng)點Q 的坐標(biāo)為（8-2，5 ），點P 的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ 的長為2-3，
所以線段PQ 的長為2+3 或2-3；
（4 ）根據(jù)題干條件：PQ ⊥x 軸，可知P 、Q 兩點的橫坐標(biāo)相同，拋物線y=x²-2x+10=（x-8 ）²+2 的頂點坐標(biāo)為（8 ，2 ），
聯(lián)立 
解得點B 的坐標(biāo)為（14 ，14 ），
①當(dāng)點Q 為線段OB 上時，如圖所示，當(dāng)0 ≤m ＜4 或12 ≤m ≤14 時，d 隨m 的增大而減小，
②當(dāng)點Q 為線段AB 上時，如圖所示，當(dāng)14 ≤m ＜16 時，d 隨m 的增大而減小，
綜上所述，當(dāng)0 ≤m ＜4 或12 ≤m ＜16 時，d 隨m 的增大而減小。