Question

【題目】已知：如圖，AM為⊙O的切線，A為切點，過⊙O上一點B作BD⊥AM于點D，BD交⊙O于點C，OC平分∠AOB．
（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）當⊙O的半徑為2cm，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AM為圓O的切線，

∴OA⊥AM，

∵BD⊥AM，

∴∠OAD=∠BDM=90°，

∴OA∥BD，

∴∠AOC=∠OCB，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，

∴∠AOB=120°

（2）解：過點O作OE⊥BD于點E，

∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BE=EC=1，

∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，

∴四邊形OADE是矩形，

∴DE=OA=2，

∴EC=DC=1．

【解析】（1）由AM為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA與AM垂直，再由BD與AM垂直，得到OA與BD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由OC為角平分線得到一對角相等，以及OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；（2）過點O作OE⊥BD于點E，進而得出四邊形OADE是矩形，得出DC的長即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑)．