Question

23、九（下）“幾何回顧”一章中，課本有一習(xí)題：如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE=OF．求證：∠ACF=∠DBE．
小敏在完成題目的證明后的總結(jié)回顧中，對(duì)BE與CF的位置關(guān)系進(jìn)行了探索：
（1）小敏發(fā)現(xiàn)：在圖1中，CF⊥BE．請(qǐng)你替小敏寫出證明過程．
（2）小敏繼而猜想：如果E在CA的延長(zhǎng)線上，而F在DB或BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF⊥BE仍然成立．你認(rèn)為小敏的這個(gè)猜想是否正確？請(qǐng)你分別在圖2和圖3中，通過作圖進(jìn)行判斷，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出△OEB≌△OFC，從而得出∠OBE=∠OCF，再由∠EOB=90°可得出結(jié)論．
（2）結(jié)合（1）的證明過程可得當(dāng)F在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則CF⊥BE仍然成立，而若F在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則小敏的猜想不正確．

解答：（1）證明：由題意可證得△OEB≌△OFC，得∠OBE=∠OCF，
由∠EOB=90°，得∠OBE+∠OEB=∠OCF+∠OEB=90°，
從而CF⊥BE．
（2）解：如圖2，若F在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則CF⊥BE仍然成立．
證明（略）方法同上，

如圖3，若F在BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則小敏的猜想不正確．證明如下：
延長(zhǎng)EB和FC交于點(diǎn)P，
∵∠PCB是△CFB的一個(gè)外角，
∴∠PCB＞∠CBD=45°，同理，∠CBP＞45⁰，即∠PCB+∠CBP＞90°，（11分）
∴∠P＜90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定，有一定的難度，注意在解答下面問題的時(shí)候要利用上面問題的結(jié)論，從而使問題簡(jiǎn)單化．