Question

2．如圖，四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的AB、BC、CD、DA上滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，始終有EH∥BD∥FG，且EH=FG，四邊形EFGH的周長(zhǎng)為$2\sqrt{2}a$，那么正方形ABCD的周長(zhǎng)為4a．

Answer 1

分析 先證明△AEH，△CFG都是等腰直角三角形，證明△AEH≌△CFG得AE=AH=FC=CG，根據(jù)EH=$\sqrt{2}$AE，EF=$\sqrt{2}$EB，得EF+EH=$\sqrt{2}$AB由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：∵EH∥FG，且EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABD=45°，∠A=∠C=∠ABC=90°
∵EH∥BD，
∴∠AEH=∠ABD=∠AHE=45°，
同理∠GFC=∠FGC=45°，
在△AEH和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠AEH=∠CFG}\\{EH=FG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CFG，
∴AE=CF=AH=CG，
∴BE=EF，
∵EH=$\sqrt{2}$AE，EF=$\sqrt{2}$BE，
∴EH+EF=$\sqrt{2}$（AE+EB）=$\sqrt{2}$AB，
∵EH+EF=$\sqrt{2}$a，
∴AB=a，
∴正方形周長(zhǎng)為4a．
故答案為4a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等，學(xué)會(huì)利用特殊三角形的邊之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．