Question

14．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度數(shù)；
（2）若EF=4，BF：FD=5：3，S_△BCF=10，求點D到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線定義求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案；
（2）過D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DG=DH，通過△BEF∽△BHD，得到$\frac{EF}{DH}=\frac{BF}{BD}$，代入數(shù)據(jù)求得DH=$\frac{32}{5}$．即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ACB=180°-60°-48°=72°，
∵FE是BC的中垂線，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-24°=48°；

（2）過D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DG=DH，
∵EF⊥BC，
∴EF∥DH，
∴△BEF∽△BHD，
∴$\frac{EF}{DH}=\frac{BF}{BD}$，
∵EF=4，BF：FD=5：3，
∴DH=$\frac{32}{5}$．
∴DG=DH=$\frac{32}{5}$，
∴點D到AB的距離=$\frac{32}{5}$．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線定義和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記知識點是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中．