Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC、BE，且AC和BE相交于點O．
（1）求證：四邊形ABCE是菱形；
（2）如圖2，P是線段BC上一動點（不與B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，過Q作QR⊥BD交BD于R．
①四邊形PQED的面積是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由；
②以點P、Q、R為頂點的三角形與以點B、C、O為頂點的三角形是否可能相似？若可能，請求出線段BP的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平移的性質以及菱形的判定得出即可；
（2）①首先過E作EF⊥BD交BD于F，則∠EFB=90°，證出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四邊形PQED的面積為定值；
②當∠QPR=∠BCO時，△PQR∽△CBO，此時有OP=OC=3，過O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性質得出CG的長，進而得出BP的長．
解答：（1）證明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC=AB，AE=BC，
∵AB=BC，
∴EC=AB=BC=AE，
∴四邊形ABCE是菱形；

（2）①四邊形PQED的面積是定值，理由如下：
過E作EF⊥BD交BD于F，則∠EFB=90°，
∵四邊形ABCE是菱形，
∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，
∵AC=6，
∴OC=3，
∵BC=5，
∴OB=4，，
∴BE=8，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠CBO，四邊形PQED是梯形，
在△QOE和△POB中
，
∴△QOE≌△POB，
∴QE=BP，
∴
=（BP+DP）×EF
=×BD×EF
=×2BC×EF
=BC×EF
=；

②△PQR與△CBO可能相似，
∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR＞∠CBO，
∴當∠QPR=∠BCO時，△PQR∽△CBO，此時有OP=OC=3．
過O作OG⊥BC交BC于G．
∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG：CO=CO：BC，
即CG：3=3：5，
∴CG=，
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及菱形的判定、全等三角形的判定以及梯形面積求法等知識，根據相似三角形的判定得出△PQR∽△CBO，進而得出△OGC∽△BOC是解題關鍵．