Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點，點D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點P．則下列結論：
①圖形中全等的三角形只有兩對；
②△ABC的面積等于四邊形CDOE面積的2倍；
③CD+CE=

2

OA；
④AD²+BE²=2OP•OC．
其中，正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：結論①錯誤．因為圖中全等的三角形有3對；
結論②正確．由全等三角形的性質可以判斷；
結論③正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質可以判斷．
結論④正確．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進行判斷．

解答：解：結論①錯誤．理由如下：
圖中全等的三角形有3對，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性質，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，
∴∠AOD=∠COE．
在△AOD與△COE中，

∠OAD=∠OCE=45° OA=OC ∠AOD=∠COE

，
∴△AOD≌△COE（ASA）．
同理可證：△COD≌△BOE．
結論②正確．理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，
即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．
結論③正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=

2

OA．
結論④正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，
∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE，
∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，
∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴

OE

OC

=

OP

OE

，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
綜上所述，正確的結論是②③④．
故答案為：②③④．

點評：本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要幾何知識點．難點在于結論④的判斷，其中對于“OP•OC”線段乘積的形式，可以尋求相似三角形解決問題．