Question

（11·欽州）（本題滿分12分）．
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C (0，4)，頂點為．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標．
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點為
∴設拋物線的函數關系式為y＝a ( x－1) ²＋                    ………………2分
∵拋物線與y軸交于點C (0，4)，
∴a (0－1) ²＋＝4
解得a＝－
∴所求拋物線的函數關系式為y＝－ ( x－1) ²＋                 ………………4分
（2）解：，    ………………8分
（3）解：令－ ( x－1) ²＋＝0，解得x₁＝－2，x₁＝4
∴拋物線y＝－ ( x－1) ²＋與x軸的交點為A (－2，0) C (4，0)………………9分
過點F作FM⊥OB于點M，

設E點坐標為 (x，0)，則EB＝4－x，MF＝ (4－x)              …………10分

當x＝1時，S_最大值＝3                                         …………11分
此時點E的坐標為 (1，0)                                     …………12分

解析