Question

11．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上的一點，DE⊥BC于點E，且AD=DE，AE與BD相交于點F．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）若AB=2EF，判斷△ABE的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到結(jié)論；
（2）先利用“HL”證明Rt△ABD≌Rt△EBD得到AB=BE，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得EF=AF，由于AB=2EF，易得AB=AE=BE，于是根據(jù)等邊三角形的判定方法可判斷△ABE為等邊三角形．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，DE⊥BC，AD=DE，
∴BD平分∠ABC；
（2）△ABE為等邊三角形．利用如下：
在Rt△ABD和Rt△EBD中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD，
∴AB=BE，
∴△ABE為等腰三角形，
∵BF平分∠ABE，
∴BF垂直平分AE，即EF=AF，
而AB=2EF，
∴AB=AE，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE為等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定．解決本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)得到BF垂直平分AE．