Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，$\widehat{BC}=\widehat{PC}$．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若BC=6，BE=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，于是得到∠BCD=∠D，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，推出△BCE∽△BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BC}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{PC}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{PC}$，
∴∠BCD=∠D，
∴CB∥PD；

（2）解：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BCE=∠A，
∴△BCE∽△BCA，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BE}{BC}$，
∴AB=$\frac{B{C}^{2}}{BE}$=$\frac{{6}^{2}}{4}$=9，
∴⊙O的半徑為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．