Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度數(shù)；
（2）若P，A兩點(diǎn)在拋物線y=-

4

3

x²+bx+c上，求b，c的值，并說明點(diǎn)C在此拋物線上；
（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于另外一點(diǎn)E，若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，N是y軸上的點(diǎn)，以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OC、OA的長，可求得∠OCA=∠ACP=60°（折疊的性質(zhì)），∠BCA=∠OAC=30°，由此可判斷出∠PCB的度數(shù)．
（2）過P作PQ⊥OA于Q，在Rt△PAQ中，易知PA=OA=3，而∠PAO=2∠PAC=60°，即可求出AQ、PQ的長，進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可得到b、c的值，從而確定拋物線的解析式，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
（3）根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分兩種情況考慮：
①DE是平行四邊形的對(duì)角線，由于CD∥x軸，且C在y軸上，若過D作直線CE的平行線，那么此直線與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，而N點(diǎn)即為C點(diǎn)，D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，而C點(diǎn)坐標(biāo)已知，即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
②DE是平行四邊形的邊，由于A在x軸上，過A作DE的平行線，與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn)，而M點(diǎn)即為A點(diǎn)；易求得∠DEA的度數(shù)，即可得到∠NAO的度數(shù)，已知OA的長，通過解直角三角形可求得ON的值，從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，其坐標(biāo)已知；
同理，由于C在y軸上，且CD∥x軸，過C作DE的平行線，也可找到符合條件的M、N點(diǎn)，解法同上．

解答：解：（1）在Rt△OAC中，OA=

3

，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：OA=AP=

3

，∠ACO=∠ACP=60°；
∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，
∴∠PCB=30°．

（2）過P作PQ⊥OA于Q；
Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=

3

；
∴OQ=AQ=

3

2

，PQ=

3

2

，
所以P（

3

2

，

3

2

）；
將P、A代入拋物線的解析式中，得：

-1+ 3 2 b+c= 3 2 -4+ 3 b+c=0

，
解得

b= 3 c=1

；
即y=-

4

3

x²+

3

x+1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．

（3）①若DE是平行四邊形的對(duì)角線，點(diǎn)C在y軸上，CD平行x軸，
∴過點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，
把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3 3

4

，1）
把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

3

4

，0）
∴M（

3

2

，0）；N點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，
過點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，
∴DE=AN=

OA 2+ON 2

=

3+1

=2，
∵tan∠EAN=

ON

OA

=

3

3

，
∴∠EAN=30°，
∵∠DEA=∠EAN，
∴∠DEA=30°，
∴M（

3

，0），N（0，-1）；
同理過點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，
∴M（-

3

，0），N（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．