【題目】在等腰直角三角形ABC中,,P是BC上的一動點(不與B,C重合),射線AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn),得到射線AQ,過點C作CE垂直AB,交AB與點D,交射線AQ于點E,連接PE.
(1)依題意補全圖形;
(2)求的度數(shù);
(3)用等式表示線段PE,DE,AC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)見解析;(2)45°;(3),見解析
【解析】
(1)本題考查題意理解能力,按照題目要求作圖即可.
(2)本題考查等腰直角三角形性質(zhì)的應用以及相似三角形的證明,需要根據(jù)角度計算結(jié)合圖形性質(zhì)證角等,證相似,按照邊長比例關(guān)系確定角度.
(3)本題考查圖形觀察能力以及線段等量轉(zhuǎn)化,可根據(jù)上一問邊長比例關(guān)系結(jié)論作為本題解答條件,并結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)求解本題.
解:(1)補全圖形,如圖
(2)∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC=45°
∵∠EAP=45°
∴∠EAD=∠CAP
又∵∠EDA=∠ACP=90°
∴△ADE∽△ACP ,D為AB中點
∴
∴∠EPA=45°
(3)由(2)可知,△AEP是等腰直角三角形
在Rt△APC中
∵
又∵,
∴
即
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【題目】請認真閱讀下面的數(shù)學探究,并完成所提出的問題.
(1)探究1:如圖1,在邊長為的等邊三角形中,是邊上任意一點,連接,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至處,連接,求面積的最小值.
(2)探究2:如圖2,若是腰長為的等腰直角三角形,,(1)中的其他條件不變,請求出此時面積的最小值.
(3)探究3:如圖3,在中,,,,是邊上任意一點,連接,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至處,、、三點共線,連接,求的面積的最小值.
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【題目】某校開展“文明在行動”的志愿者活動,準備購買某一品牌書包送到希望學校.在商店,無論一次購買多少,價格均為每個50元.在商店,一次購買數(shù)量不超過10個時,價格為每個60元;一次購買數(shù)量超過10個時,超出10個部分打八折.設一次購買該品牌書包的數(shù)量為x個.
(Ⅰ)根據(jù)題意填表:
一次購買數(shù)量/個 | 5 | 10 | 15 | … |
商店花費/元 | 500 | … | ||
商店花費/元 | 600 | … |
(Ⅱ)設在商店花費元,在商店花費元,分別求出關(guān)于的函數(shù)解析式;
(Ⅲ)根據(jù)題意填空;
①若小麗在商店和在商店一次購買書包的數(shù)量相同,且花費相同,則她在同一商店一次購買書包的數(shù)量為______個.
②若小麗在同一商店一次購買書包的數(shù)量為50個,則她在兩個商店中的______商店購買花費少;
③若小麗在同一商店一次購買書包花費了1800元,則她在兩個商店中_______商店購買數(shù)量多.
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【題目】實行垃圾分類和垃圾資源化利用,關(guān)系廣大人民群眾生活環(huán)境,關(guān)系節(jié)約使用資源,也是社會文明水平的一個重要體現(xiàn).某環(huán)保公司研發(fā)了甲、乙兩種智能設備,可利用最新技術(shù)將干垃圾進行分選破碎制成固化成型燃料棒,干垃圾由此變身新型清潔燃料.某垃圾處理廠從環(huán)保公司購入以上兩種智能設備若干,已知購買甲型智能設備花費萬元,購買乙型智能設備花費萬元,購買的兩種設備數(shù)量相同,且兩種智能設備的單價和為萬元.
求甲、乙兩種智能設備單價;
垃圾處理廠利用智能設備生產(chǎn)燃料棒,并將產(chǎn)品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物資成本兩部分組成,其中物資成本占總成本的,且生產(chǎn)每噸燃料棒所需人力成本比物資成本的倍還多元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若燃料棒售價為每噸元,平均每天可售出噸,而當銷售價每降低元,平均每天可多售出噸.垃圾處理廠想使這種燃料棒的銷售利潤平均每天達到元,且保證售價在每噸元基礎上降價幅度不超過,求每噸燃料棒售價應為多少元?
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【題目】國家衛(wèi)生健康委員會公布,截止4月2日全國疫情現(xiàn)存趨勢圖如下:
(1)結(jié)合圖象,小彤對全國疫情做出以下四個判斷:
①現(xiàn)存疑似病例與現(xiàn)存確診病例數(shù)量差距最大日期大約出現(xiàn)在2月上旬;
②疫情在3月30日已經(jīng)得到完全的控制;
③現(xiàn)存疑似人數(shù)大約在2月8日前后達到峰值;
④全國現(xiàn)存確診病例人數(shù)3月底增加趨緩.
你認為判斷正確的有________.
(2)針對這次疫情,某校初三一班的同學以小組為單位組織了“抗戰(zhàn)疫情,我為湖北鼓勁”繪畫活動.通過網(wǎng)絡發(fā)往湖北,右圖是同學們的上交繪畫作品情況,結(jié)合統(tǒng)計圖,回答:________,________.
(3)全國各地都向湖北伸出援助之手,其中北京市派遣醫(yī)務人員前往較為嚴重的武漢和黃岡.請依據(jù)表格回答下列問題:
北京派遣至武漢、黃岡各醫(yī)院醫(yī)護人員對比表 | ||||||
武漢 | ||||||
5 | 7 | 9 | 12 | 11 | 8 | 19 |
20 | 7 | 7 | 3 | 1 | 20 | 13 |
黃岡 | ||||||
3 | 8 | 5 | 10 | 14 | 20 | |
4 | 2 | 9 | 18 | 11 | 15 | |
注:表格內(nèi)的數(shù)字代表派遣至每個醫(yī)院的醫(yī)護人員人數(shù) |
①派往武漢各醫(yī)院醫(yī)護人員的眾數(shù)是________人;
②派黃岡各醫(yī)院醫(yī)護人員的平均數(shù)約是________人(四舍五入取整數(shù));
③請你根據(jù)表格信息,判斷兩個地區(qū)哪里的疫情較為嚴重,說明理由.
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【題目】如圖,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,且PA=3,PB=4, PC=5,若將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQB,則∠APB的度數(shù)______.
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【題目】如圖,△ABC中,∠BCA=90°,CD是邊AB上的中線,分別過點C,D作BA和BC的平行線,兩線交于點E,且DE交AC于點O,連接AE.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)若∠B=60°,BC=6,求四邊形ADCE的面積.
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【題目】2022年在北京將舉辦第24屆冬季奧運會,很多學校都開展了冰雪項目學習.如圖,滑雪軌道由AB、BC兩部分組成,AB、BC的長度都為200米,一位同學乘滑雪板沿此軌道由A點滑到了C點,若AB與水平面的夾角α為20°,BC與水平面的夾角β為45°,則他下降的高度為___________米(精確到1米,,sin20o=0.3420,tan20o=0.3640,cos20o=0.9400).
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點D,過點D作DE⊥AB,垂足為E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE= ,∠C=30°,求的長.
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