【題目】在學習了正方形后,數(shù)學小組的同學對正方形進行了探究,發(fā)現(xiàn):
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點E為BC邊上任意一點(點E不與B、C重合),點F在線段AE上,過點F的直線MN⊥AE,分別交AB、CD于點M、N . 此時,有結論AE=MN,請進行證明;
(2)如圖2:當點F為AE中點時,其他條件不變,連接正方形的對角線BD, MN 與BD交于點G,連接BF,此時有結論:BF= FG,請利用圖2做出證明.
(3)如圖3:當點E為直線BC上的動點時,如果(2)中的其他條件不變,直線MN分別交直線AB、CD于點M、N,請你直接寫出線段AE與MN之間的數(shù)量關系、線段BF與FG之間的數(shù)量關系.
圖1 圖2 圖3
【答案】(1)證明見解析;
(2)證明見解析;
(3)AE與 MN的數(shù)量關系是:AE= MN ,BF與FG的數(shù)量關系是: BF= FG
【解析】(1)作輔助線,構建平行四邊形PMND,再證明△ABE≌△DAP,即可得出結論;
(2)連接AG、EG、CG,構建全等三角形和直角三角形,證明AG=EG=CG,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得∠AGE=90°,在R△AGE中,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=AE,F(xiàn)G=AE,則BF=GF;
(3)①AE=MN,證明△AEB≌△NMQ;
②BF=FG,同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGF斜邊上的中線,則 BF=AE,F(xiàn)G=AE,所以BF=FG.
證明:
(1)在圖1中,過點D作PD∥MN交AB于P,則∠APD=∠AMN
∵ 正方形ABCD
∴ AB = AD,AB∥DC,∠DAB =∠B = 90°
∴ 四邊形PMND是平行四邊形且PD = MN
∵ ∠B = 90° ∴∠BAE+∠BEA= 90°
∵MN⊥AE于F, ∴∠BAE+∠AMN = 90°
∴∠BEA =∠AMN =∠APD
又∵AB = AD,∠B =∠DAP = 90°
∴△ABE ≌ △DAP∴ AE = PD = MN
(2)在圖2中連接AG、EG、CG
由正方形的軸對稱性 △ABG ≌ △CBG∴ AG = CG,∠GAB=∠GCB
∵ MN⊥AE于F,F為AE中點∴ AG = EG
∴ EG = CG,∠GEC=∠GCE∴ ∠GAB=∠GEC
由圖可知∠GEB+∠GEC=180°∴ ∠GEB+∠GAB =180°
又∵四邊形ABEG的內(nèi)角和為360°,∠ABE= 90°∴ ∠AGE = 90°
在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE為斜邊,F為AE的中點,
∴BF=AE, FG= AE ∴BF= FG
(3)AE與 MN的數(shù)量關系是:AE= MN
BF與FG的數(shù)量關系是: BF= FG
“點睛”本題是四邊形的綜合題,考查了正方形、全等三角形、平行四邊形的性質(zhì)與判定,在有中點和直角三角形的前提下,可以利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明兩條線段相等.
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【題目】閱讀材料:若,求m、n的值.
解:∵,
∴
∴ ,而,,
∴ 且,
∴n=4,m=4.
根據(jù)你的觀察,探究下面的問題:
(1),則a=______;b=_________.
(2)已知△ABC的三邊a,b,c滿足=0,
關于此三角形的形狀的以下命題:①它是等邊三角形;②它屬于等腰三角形:③它屬于銳角三角形;④它不是直角三角形.其中所有正確命題的序號為________________.
(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù),且,求△ABC的周長.
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【題目】科學研究發(fā)現(xiàn),空氣含氧量y(克/立方米)與海拔高度x(米)之間近似地滿足一次函數(shù)關系.經(jīng)測量,在海拔高度為1000米的地方,空氣含氧量約為267克/立方米;在海拔高度為2000米的地方,空氣含氧量約為235克/立方米.
(1)求出y與x的函數(shù)表達式;
(2)求出海拔高度為0米的地方的空氣含氧量.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=8cm,P,Q分別從A,C同時出發(fā),P以1cm/s的速度由A向D運動,Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運動,_____秒后四邊形ABQP是平行四邊形.
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【題目】(本題滿分10分)已知四邊形ABCD是矩形,對角線AC和BD相交于點P,若在矩形的上方加一個△DEA,且使DE∥AC,AE∥BD.
(1)求證:四邊形DEAP是菱形;
(2)若AE=CD,求∠DPC的度數(shù).
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【題目】如圖,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點O,∠BAC=60°,∠C=50°,求∠DAC及∠BOA的度數(shù).
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【題目】新新兒童服裝店對“天使”牌服裝進行調(diào)價,其中A型服裝每件的價格上調(diào)了10%,B型服裝每件的價格下調(diào)了5%,已知調(diào)價前買這兩種服裝各一件共花費140元,調(diào)價后買3件A型服裝和2件B型服裝共花費350元,則這兩種服裝在調(diào)價前每件各多少元?
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【題目】看圖填空,并在括號內(nèi)說明理由:
∵BD平分∠ABC(已知)
∴__________=__________(__________)
又∠1=∠D(已知)
∴__________=__________(__________)
∴__________∥__________(__________)
∴∠ABC+__________=180°(__________)
又∠ABC=55°(已知)
∴∠BCD=__________.
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【題目】如圖,正△ABC的邊長為2,過點B的直線l⊥AB,且△ABC與△A′BC′關于直線l對稱,D為線段BC′上一動點,則AD+CD的最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 2+
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