Question

在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且BE=2AE，BD是∠EBC的平分線．點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD交直線BE于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BE=PD+

3

3

PQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你猜想BE，PD，

3

3

PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)（如圖3），連接QC，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥QC，垂足為F，PF交BD于點(diǎn)G．若BC=12，求線段PG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BE=2AE，BD是∠EBC的平分線可知∠ABE=30°，通過(guò)PQ∥BD，得到EQ=EP．過(guò)點(diǎn)E作EM⊥QP垂足為M構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或直角三角形的三邊關(guān)系得到PE=

3

3

PQ．那么BE=DE=PD+PE=PD+

3

3

PQ；
（2）直接有（1）中的思路和圖形上線段之間的關(guān)系可猜得BE=

3

3

PQ-PD；
（3）先連接PC交BD于點(diǎn)N，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得∠DPC=60°，再證明△PNG∽△QPC，利用其比例線段可求得PG=

2 21

3

．

解答：證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形．
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD∥BC．
∴∠EDB=∠DBC．
∵BE=2AE．
∴∠ABE=30°．
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60度．
∵BD是∠EBC的平分線．
∴∠EBD=∠DBC=

1

2

∠EBC=∠EDB=30度．
∴EB=ED．
∵PQ∥BD．
∴∠EQP=∠EBD，∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°．
∴EQ=EP．
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥QP垂足為M．
∴PQ=2PM．
∵PM=PE•cos∠EPM=PE•cos30°=

3

2

PE．
∴PE=

3

3

PQ．（1分）
∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+

3

3

PQ．（2分）

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想：BE=

3

3

PQ-PD．（4分）

（3）解：連接PC交BD于點(diǎn)N（如圖3）
∵點(diǎn)P是線段ED的中點(diǎn)，BE=DE=2AE，BC=12．
∴EP=PD=4．
∵DC=BC•tan30°=4

3

．
∴PC=

PD2+DC2

=8，BD=

BC2+DC2

=8

3

．
∴cos∠DPC=

PD

PC

=

1

2

．
∴∠DPC=60度．
∵PQ∥BD，
∴PQ=

1

2

BD=4

3

．
∵∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°，∠PND=∠PNG=90度．
∴PN=

1

2

PD=2，QC=

PQ2+PC2

=4

7

．（5分）
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC．
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PND=∠QPG=90°．
∴△PNG∽△QPC．（6分）
∴

PG

QC

=

PN

QP

．
∴PG=

2×4 7

4 3

=

2 21

3

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了角平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或直角三角形的特殊性質(zhì)以及相似三角形中的成比例線段求位置線段的長(zhǎng)度或比值．