Question

如圖，已知在⊙O的半徑為6．D為弦BC的中點(diǎn)，A為BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)．連BF交AD于E，BE=AC．
（1）若BC=5，求點(diǎn)O到BC的距離；
（2）求證：AF=EF．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)D是BC的中點(diǎn)可知OD⊥BC，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE等于EF．

解答：解：（1）連接OD，
∵D為弦BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，BD=

1

2

BC=

1

2

×5=

5

2

，
在Rt△OBD中，
OD=

OB2-BD2

=

62-( 5 2 )2

=

119

2

；

（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得DG=AD，連接BG，
∵BD=DC，
∴△ADC≌△GDB，
∴∠CAD=∠G，BG=AC
又∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠CAD，
即：∠AEF=∠FAE，
∴AF=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形及全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．