Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F，AE與FG交于點O．

（1）如圖1，求證：A，G，E，F四點圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，當△AED的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N是線段BC的中點；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．

 

Answer 1

【解答】（1）（3分）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，

∴∠EFG=∠AGF，

∴∠EFG=∠EGF，

∴EF=EG=AG，

∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），

又∵AG=GE，

∴四邊形AGEF是菱形．………………3分

（2）（3分）連接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，

∴ON⊥BC，

∵點O是AE的中點，

∴ON是梯形ABCE的中位線，

∴點N是線段BC的中點．………………6分

（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，則四邊形OMBN是矩形。

∴OM＝BN＝BC＝1

令ON＝x，則由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圓半徑），

∵AM＝AB－MB＝4－x

在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA²＝AM²+OM²

即x²=(4－x)²+1²

解之得：x＝

∴AM＝4－＝

又∵Rt△AOM∽Rt△EFO

∴＝   即＝

∴OF＝    ∴FG＝2OF＝  ………………………………10分

解法二：（4分）延長NO交AD于H，則AH＝BN＝1，NH＝4

令ON＝x，則由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圓半徑），

∵OH＝4－x

在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA²＝AH²+OH²

即x²=1² +(4－x)²

解之得：x＝

∴HO＝4－＝

又∵Rt△AOM∽Rt△EFO

∴＝

即：＝

∴OF＝  

 ∴FG＝2OF＝  …………………………………………10分