Question

證明不等式:a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c).

Answer 1

【證明】∵a⁴+b⁴≥2a²b²,b⁴+c⁴≥2b²c²,c⁴+a⁴≥2a²c²,

∴2(a⁴+b⁴+c⁴)≥2(a²b²+b²c²+a²c²),

即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+a²c².

又a²b²+b²c²≥2ab²c,

b²c²+a²c²≥2abc²,

a²b²+a²c²≥2a²bc,

∴2(a²b²+b²c²+a²c²)≥2(a²bc+ab²c+abc²),

即a²b²+b²c²+a²c²≥abc(a+b+c).

所以原不等式成立.