Question

如圖所示是⊙O的部分圖形，OA、OB是圓O的兩條互相垂直的半徑，點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MC∥OA，交

AB

于點(diǎn)C．求證：

AC

=

1

3

AB

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系,含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：連結(jié)OC，延長(zhǎng)CM交OB于D，如圖，由于點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)，MC∥OA，則DM為△AOB的中位線，得到OD=

1

2

OB=

1

2

OC，在Rt△OCD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠DOC=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AOC=30°，所以∠AOC=

1

3

∠AOB，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到

AC

=

1

3

AB

．

解答：證明：連結(jié)OC，延長(zhǎng)CM交OB于D，如圖，
∵點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)，MC∥OA，
∴點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

OB=

1

2

OC，
在Rt△OCD中，∠DOC=30°，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB，
∴

AC

=

1

3

AB

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．