Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，△ABE是等邊三角形．
（1）求∠ACE的度數(shù)．
（2）求AF的長．

Answer 1

考點：勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBE=30°，∠BCA=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BCE的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；
（2）作FH⊥AB于H，設(shè)BH=x，則BF=2x，根據(jù)三角函數(shù)可得FH=

3

x=AH，可得AH的長，再根據(jù)勾股定理可得AF的長．

解答：解：（1）∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBE=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BE=BC，∠BCA=45°，
∴∠BCE=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠ACE=∠BCE-∠BCA=30°；

（2）作FH⊥AB于H，
設(shè)BH=x，則BF=2x，F(xiàn)H=

3

x=AH．
∴x+

3

x=2，
∴x=

3

-1，
∴AH=

3

(

3

-1)，
AF=

2

AH=

6

(

3

-1)=3

2

-

6

．

點評：考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)和勾股定理，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．