Question

（2012•晉江市質檢）如圖，△ABC是等邊三角形，點A坐標為（-8，0）、點B坐標為（8，0），點C在y軸的正半軸上．一條動直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=

3

3

x交于點D，與線段BC交于點E．以DE為邊向左側作等邊△DEF，EF與y軸的交點為G．當點D與點E重合時，直線l停止運動，設直線l的運動時間為t（秒）．
（1）填空：點C的坐標為

（0，8

3

）

，四邊形ODEG的形狀一定是

平行四邊形

；
（2）試探究：四邊形ODEG能不能是菱形？若能，求出相應的t的值；若不能，請說明理由．
（3）當t為何值時，點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上？并求出此時⊙M的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先設l與x軸交于點N，由△ABC是等邊三角形，點A坐標為（-8，0）、點B坐標為（8，0），易求得OC的長，即可求得點C的坐標，由直線l與直線y=

3

3

x交于點D與△DEF是等邊三角形，可證得GE∥OD，又由l∥y軸，可得四邊形ODEG是平行四邊形；
（2）首先待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，則可求得點D與E的坐標，即可求得DE的長，又由當OD=DE時，四邊形ODEG是菱形，可得方程-

4 3

3

t+8

3

=

2 3

3

t，解此方程即可求得答案；
（3）連接DG，當∠DGE=90°時，點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，可得點E是EF的中點，易得當OD=

1

2

DE時，點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，即可得方程

2 3

3

t=

1

2

×（-

4 3

3

t+8

3

），解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）設l與x軸交于點N，
∵△ABC是等邊三角形，點A坐標為（-8，0）、點B坐標為（8，0），
∴OA=OB=8，∠CAB=60°，
∴OC=OA•tan∠CAB=8×

3

=8

3

，
∴點C的坐標為：（0，8

3

），
∵直線l與直線y=

3

3

x交于點D，
∴tan∠DON=

3

3

，
∴∠DON=30°，
∵l⊥x軸，
∴∠DNO=90°，ED∥OC，
∴∠ODN=60°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FED=60°，
∴∠FED=∠ODN，
∴EF∥OD，
∴四邊形ODEG是平行四邊形；
故答案為：（0，8

3

），平行四邊形；

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵B（8，0），C（0，8

3

），
∴

8k+b=0 b=8 3

，
解得：

k=- 3 b=8 3

，
∴直線BC的解析式為：y=-

3

x+8

3

，
∴D點坐標為（t，

3

3

t），E（t，-

3

t+8

3

），
則DE=-

3

t+8

3

-

3

3

t=-

4 3

3

t+8

3

，
由（1）知，四邊形ODEG是平行四邊形，
∴要使四邊形ODEG為菱形，則必須有OD=DE成立；
設l與x軸交于點N，
∵OD=2DN=2×

3

3

t=

2 3

3

t，
∴-

4 3

3

t+8

3

=

2 3

3

t，
解得：t=4
∴當t=4秒時，四邊形ODEG為菱形；

（3）當t=0時 G．E均與C重合，D與O重合．此時，點G落在以DE為直徑的圓M上，
當t≠0時，如圖，連接DG，當∠DGE=90°時，點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，
∵DF=DE，
∴點G為EF的中點
∴EG=

1

2

EF=

1

2

DE，
由（1）知，四邊形ODEG是平行四邊形，
∴OD=EG=

1

2

DE，
又由（2）知，DE=-

4 3

3

t+8

3

，OD=

2 3

3

t，
∴

2 3

3

t=

1

2

×（-

4 3

3

t+8

3

），
解得：t=3，
∴當t=3秒時，點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上，此時⊙M的半徑為：

2 3

3

×3=2

3

．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定以及圓周角定理等知識．此題難度較大，注意掌握符，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．