Question

已知關(guān)于x的方程x²-kx+k²-1=0，
（1）k為何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根；
（2）k為何值時(shí)，方程有一正一負(fù)的根；
（3）k為何值時(shí)，方程僅有一個(gè)正根．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程根的分布

專題：

分析：（1）直接利用根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的不等式進(jìn)而求出即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出關(guān)于k的不等式進(jìn)而求出即可；
（3）利用根的判別式得出關(guān)于k的等式進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）設(shè)方程x²-kx+k²-1=0有兩個(gè)正根x₁，x₂，
由韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）可得：
x₁+x₂=-（-k）＞0，x₁•x₂=k²-1＞0
解得：k＞1；

（2）設(shè)方程x²-kx+k²-1=0有兩個(gè)正根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：
b²-4ac=k²-4k²+4＞0，x₁•x₂=k²-1＜0，
整理可得出：k²＜1，k²＜

4

3

解得：-1＜k＜1；

（3）設(shè)方程x²-kx+k²-1=0有兩個(gè)正根x₁，x₂，
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式可得：
b²-4ac=k²-4k²+4=0，
解得：k=±

2 3

3

，當(dāng)k=

2 3

3

時(shí)，方程的根為負(fù)數(shù)，故正根舍去，
則k=-

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式等知識(shí)，其中由韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）結(jié)合已知，構(gòu)造出關(guān)k的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．