Question

某班數(shù)學興趣小組在一次學習研討中，興奮地發(fā)現(xiàn)一個真命題，內容如下：
如圖（1），正三角形ABC中，在AB，AC邊上分別取點M，N，使BM=AN，連接BN，CM，那么BN=CM，且∠NOC=60°．
（1）請證明上述真命題．
（2）請你運用類比的思想，大膽猜測，在橫線上填寫適當內容，得到一個類似的真命題：
如圖（2），正方形ABCD中，在AB，BC邊上分別取點M，N，使AM=BN，連接AN，DM，那么AN=______，且∠DON=______度（不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC是正三角形與AN=BM，易證得△ABN≌△BCM（SAS），由全等三角形的對應角相等，即可得∠ANB=∠BMC，又由∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，由三角形的內角和定理，即可證得∠NOC=60°．
（2）由四邊形ABCD是正方形與AM=BN，易證得△DAM≌△ABN（SAS），然后根據(jù)全等三角形的性質，求得AN=DM，∠AMD=∠BNA，又由∠BAN+∠BNA=90°，即可得∠DON=90°．
解答：解：（1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
∵AN=BM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴BN=CM，∠ANB=∠BMC，
∵∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，
∴∠BMO+∠ABN=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠NOC=∠BOM=60°；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=BD，
∵AM=BN，
∴△DAM≌△ABN（SAS），
∴AN=DM，∠AMD=∠BNA，
∵∠BAN+∠BNA=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°，
∴∠AOM=90°，
∴∠DON=∠AOM=90°．
故答案為：DM，90．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，正三角形與正方形的性質．題目綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．