Question

（2011•徐匯區(qū)二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E為底邊BC上一點，以點E為圓心，BE為半徑畫⊙E交線段DE于點F．
（1）如圖，當點F在線段DE上時，設(shè)BE=x，DF=y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當以CD為直徑的⊙O與⊙E相切時，求x的值；
（3）連接AF、BF，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）想要建立線段與線段之間的函數(shù)關(guān)系式，就要想辦法將這些線段構(gòu)造在一個圖形中，故我們可過點D作DG⊥BC交點G，利用圓與直線的位置關(guān)系和勾股定理，即可容易的得出函數(shù)關(guān)系式．
（2）本題主要是分情況來討論，①是外切；②是內(nèi)切；分別根據(jù)各相切之間的關(guān)系及函數(shù)關(guān)系式即可得出x的值．
（3）這一問主要是利用數(shù)據(jù)線的全等、勾股定理以及以求得的函數(shù)關(guān)系式來進行解答．
解答：解：（1）如圖1，過點D作DG⊥BC于點G．
可得DG=AB=4，BG=AD，GC=3，BC=8，EG=5-x；
在Rt△DEG中，
∴DE²=EG²+DG²，即（x+y）²=4²+（5-x）²；
∴y=（負值舍去）
定義域：0＜x≤4.1；

（2）設(shè)CD的中點O，連接EO，過點O作OH⊥BC于點H．
OC=，OH=2，HC=，EH=8-x-；
①⊙O與⊙E外切時，OE=x+
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-）²=（x+）²
∴4+x²-13x+=x²+5x+，
∴18x=40，
化簡并解得x=；
②⊙O與⊙E內(nèi)切時，OE=|x-|
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-）²=（x-）²，
∴4+x²-13x+=x²-5x+，
∴8x=40，
化簡并解得x=5；
綜上所述，當⊙O與⊙D相切時，x=5或；

（3）如圖2，連接AF，AE，
當AF=AB=4時，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴∠AFE=∠ABE=90°，即AF⊥DE
在Rt△AFD中，DF==3；
由y==3，解得x=2；
如圖3，當FA=FB時，過點F作QF⊥AB于點Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，=x，x=（負值舍去）；
綜上所述，當△ABF是以AF為腰的等腰三角形時，
x=2或．
點評：本題綜合考查了學生對梯形和圓之間的位置關(guān)系，利用切線的性質(zhì)和函數(shù)關(guān)系式，以及合理的輔助線，方可對本題有一個完善的解答，本題具有一定的難度，屬于壓軸性題目，望同學們多加練習和總結(jié)．