Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，3），B（4，3），C（6，0）．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1），D是線段OC上的一個動點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)從O點(diǎn)向C點(diǎn)移動時，直線MD與梯形的一邊交于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t．
（1）當(dāng)t=1時，△DNC的面積是

 

．
（2）若以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出DM的解析式，再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)判斷出t=1時，直線DM經(jīng)過點(diǎn)B，然后求出CD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）①直角頂點(diǎn)N在BC上時，根據(jù)等角的余角相等求出∠OMD=∠NCD，再表示出CD=6-t，然后根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用∠OMD和∠NCD的正切值列式計(jì)算求出t值；②直角頂點(diǎn)N在OA上，表示出MN、OA的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用∠OMD和∠NCD的正切值列式計(jì)算求出t值，再結(jié)合圖形寫出△MNC是鈍角三角形時的t的取值范圍即可．

解答：解：（1）t=1時，點(diǎn)D（1，0），
∵M(jìn)（0，-1），
∴直線MD的解析式為y=x-1，
當(dāng)x=4時，y=4-1=3，
∴t=1時，直線DM經(jīng)過點(diǎn)B，
∴△DNC的面積=

1

2

×（6-1）×3=

15

2

；

（2）如圖，①直角頂點(diǎn)N在BC上時，
∵∠OMD+∠ODM=∠NCD+∠CDN=90°，
∠ODM=∠CDN（對頂角相等），
∴∠OMD=∠NCD，
∵點(diǎn)B（4，3），C（6，0），
∴tan∠NCD=

3

6-4

=

3

2

，
∴tan∠OMD=

OD

OM

=

t

1

=

3

2

，
∴t=

3

2

，
此時，

3

2

＜t＜6時，以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形；
②直角頂點(diǎn)N在OA上時，
設(shè)直線MD的解析式為y=mx+n（m≠0），
則

n=-1 tm+n=0

，
解得

m= 1 t n=-1

，
∴直線DM的解析式y(tǒng)=

1

t

x-1，
易求直線OA的解析式為y=

3

2

x，
聯(lián)立

y= 3 2 x y= 1 t x-1

，
解得

x= 2t 2-3t y= 3t 2-3t

，
同①，tan∠NCD=

3t 2-3t

6- 2t 2-3t

，
∴tan∠OMD=

OD

OM

=

t

1

=

3t 2-3t

6- 2t 2-3t

，
整理得，20t²-9t=0，
解得，t₁=0，t₂=

9

20

，
此時，0＜t＜

9

20

時，以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形，
綜上所述，0＜t＜

9

20

，

3

2

＜t＜6時，以M，N，C為頂點(diǎn)的三角形是鈍角三角形．
故答案為：（1）

15

2

；（2）0＜t＜

9

20

，

3

2

＜t＜6．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于（1）判斷出直線DM經(jīng)過點(diǎn)B，（2）分兩種情況求出∠MNC=90°時的t的值，利用銳角三角函數(shù)列方程求解更加簡便，作出圖形更形象直觀．