Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)P作∠DPA=∠CPO，且PD=$\frac{1}{2}$CP，連接DA．
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$t，1）．（請用含t的代數(shù)式表示）
（2）點(diǎn)P在從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值；若不能，請說明理由．
（3）請直接寫出點(diǎn)D的運(yùn)動路線的長．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OA于E，證得△POC∽△PED，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)易求得PE=$\frac{1}{2}$t，DE=1，即可求得D（$\frac{3}{2}$t，1）；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．得出$\frac{\sqrt{4+{t}^{2}}}{4-t}$=$\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{4+{t}^{2}}}$，即可求得t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．②當(dāng)∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．得出$\frac{t}{4-t}$=$\frac{2}{1}$，即可求得t=$\frac{8}{3}$．
（3）根據(jù)題意和（1）求得的D（$\frac{3}{2}$t，1），即可求得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，D₁（0，1），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，D₂（6，1），從而得出點(diǎn)D在直線D₁D₂上，即D點(diǎn)運(yùn)動的路線是一條線段，起點(diǎn)是D₁（0，1），終點(diǎn)是D₂（6，1），即可求得點(diǎn)D運(yùn)動路線的長度為6．

解答 解：（1）如圖1，作DE⊥OA于E，
∵∠POC=∠PED=90°，∠DPA=∠CPO，
∴△POC∽△PED，
∴$\frac{PE}{OP}$=$\frac{DE}{OC}$=$\frac{DP}{CP}$，
∵OC=2，OP=t，PD=$\frac{1}{2}$CP，
∴PE=$\frac{1}{2}$t，DE=1，
∴D（$\frac{3}{2}$t，1）；
故答案為（$\frac{3}{2}$t，1）．
（2）在△COP中，CO=2，OP=t，CP=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$．
在△ADP中，PD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4+{t}^{2}}$，AP=4-t．
①當(dāng)∠PDA=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△ADP．
∴$\frac{CP}{PA}$=$\frac{OP}{PD}$，∴$\frac{\sqrt{4+{t}^{2}}}{4-t}$=$\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{4+{t}^{2}}}$，
解得：t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．
②當(dāng)∠DAP=90°時，△DPA是直角三角形，此時△COP∽△DAP．
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DP}$=$\frac{2}{1}$，∴$\frac{t}{4-t}$=$\frac{2}{1}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$．
綜上所述，點(diǎn)P在從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動的過程中，當(dāng)t=2或$\frac{2}{3}$或$\frac{8}{3}$時，△DPA成為直角三角形．
（3）如圖2，∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止運(yùn)動，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$t，1），
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，CO的中點(diǎn)為D₁（0，1），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，D₂（6，1），
∴點(diǎn)D在直線D₁D₂上，即D點(diǎn)運(yùn)動的路線是一條線段，起點(diǎn)是D₁（0，1），終點(diǎn)是D₂（6，1），
∴D₁D₂=6，
∴點(diǎn)D運(yùn)動路線的長度為6．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)間距離公式，得到點(diǎn)D在直線D₁D₂上運(yùn)動是解決第（3）小題的關(guān)鍵．