Question

如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC與∠A₁CD的平分線相交于點A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₃BC與∠A₂₀₁₃CD的平分線相交于點A₂₀₁₄，得∠A₂₀₁₄，根據(jù)題意填空：
（1）如果∠A=80°，則∠A₁=

 

°，∠A₂=

 

°
（2）如果∠A=α，則∠A₂₀₁₄=

 

．（直接用α代數(shù)式）

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，然后整理得到∠A₁=

1

2

∠A，同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁；
（2）根據(jù)（1）的計算，后一個角是前一個角的

1

2

，然后寫出即可．

解答：解：（1）∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
由三角形的外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠A₁+∠A₁BC=∠A₁+

1

2

∠ABC，
整理得，∠A₁=

1

2

∠A=

1

2

×80°=40°，
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

×40°=20°；

（2）根據(jù)（1）∠A₂₀₁₄=（

1

2

）²⁰¹⁴∠A=

α

22014

．
故答案為：40，20；

α

22014

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與定義并求出后一個角是前一個角的

1

2

是解題的關鍵．