(2006•陜西)王師傅有兩塊板材邊角料,其中一塊是邊長為60cm的正方形板子;另一塊是上底為30cm,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板子(如圖①).王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材.他將兩塊板子疊放在一起,使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合,兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域(如圖②).由于受材料紋理的限制,要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn).
(1)求FC的長;
(2)利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x(cm)為多少時(shí),矩形的面積y(cm2)最大?最大面積是多少?
(3)若想使裁出的矩形為正方形,試求出面積最大的正方形的邊長.
【答案】分析:(1)由圖形結(jié)構(gòu)可知DE∥CG,容易想到用相似三角形的性質(zhì)解答;
(2)畫出圖形,根據(jù)P點(diǎn)位置,分三種情況討論:①點(diǎn)P在AE上,②點(diǎn)P在EF上,③點(diǎn)P在FC上.通過觀察,易得①③;利用相似三角形的性質(zhì)可計(jì)算出②.利用正方形面積公式,將面積最值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程最值問題解答.
解答:解:(1)由題意,得△DEF∽△CGF,
=,
又∵DE=AD-AE=60-30=30,DF=DC-FC=60-FC,CG=120-60=60,
=
∴FC=40(cm);(3分)

(2)如圖,設(shè)矩形頂點(diǎn)B所對(duì)頂點(diǎn)為P,則
①當(dāng)頂點(diǎn)P在AE上時(shí),x=60,y的最大值為60×30=1800(cm2).(4分)
②當(dāng)頂點(diǎn)P在EF上時(shí),過點(diǎn)P分別作PN⊥BG于點(diǎn)N,PM⊥AB于點(diǎn)M.
根據(jù)題意,得△GFC∽△GPN.
=,
∴NG=x,
∴BN=120-x.
∴y=x(120-x)=-(x-40)2+2400.
∴當(dāng)x=40時(shí),y的最大值為2400(cm2).(7分)
③當(dāng)頂點(diǎn)P在FC上時(shí),y的最大值為60×40=2400(cm2).(8分)
綜合①②③,
得x=40cm時(shí),矩形的面積最大,最大面積為2400cm2;(9分)

(3)根據(jù)題意,正方形的面積y(cm2)與邊長x(cm)滿足的函數(shù)表達(dá)式為:y=x(120-x)=-x2+120x.
當(dāng)y=x2時(shí),正方形的面積最大,
∴x2=-x2+120x.
解之,得x1=0(舍),x2=48(cm).
∴面積最大的正方形的邊長為48cm.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是一道幾何應(yīng)用問題,在解第2題時(shí)不要忘了分類討論求出每一種情況的最大值后再進(jìn)行比較得出結(jié)論,第3小題只需根據(jù)題意列出方程就能解決.
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(1)求:FC的長:

(2)利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)BC邊的距離x(cm)為多少時(shí),矩形的面積最大?最大面積是多少?

(3)若想使裁出的矩形為正方形,試求出面積最大的正方形的邊長.

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(1)求FC的長;
(2)利用圖②求出矩形頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)到BC邊的距離x(cm)為多少時(shí),矩形的面積y(cm2)最大?最大面積是多少?
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(1)求FC的長;
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