Question

矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，AC兩點的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，3），直線y=-

3

4

x+

9

2

與BC邊相交于點D．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）若上拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A，D兩點，試確定此拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線AD交點M，點P為對稱軸上一動點，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，求符合條件的所有點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）有題目所給信息可以知道，BC線上所有的點的縱坐標(biāo)都是3，又有D在直線y=-

3

4

x+

9

2

上，代入后求解可以得出答案．
（2）A、D，兩點坐標(biāo)已知，把它們代入二次函數(shù)解析式中，得出兩個二元一次方程，聯(lián)立求解可以得出答案．
（3）由題目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M為頂點的三角形與△ABD相似，所以應(yīng)有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明顯∠AMP不可能等于90°，所以有兩種情況．

解答：解：（1）∵四邊形OABC為矩形，C（0，3）
∴BC∥OA，點D的縱坐標(biāo)為3．
∵直線y=-

3

4

x+

9

2

與BC邊相交于點D，∴-

3

4

x+

9

2

=3．
∴x=2，故點D的坐標(biāo)為（2，3）

（2）∵若拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A（6，0）、D（2，3）兩點，
∴

36a+6b=0 4a+2b=3.

解得：

a=- 3 8 b= 9 4 .

∴拋物線的解析式為y=-

3

8

x2+

9

4

x．

（3）∵拋物線y=-

3

8

x2+

9

4

x的對稱軸為x=3，
設(shè)對稱軸x=3與x軸交于點P₁，∴BA∥MP₁，∴∠BAD=∠AMP₁．
①∵∠AP₁M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△MP₁A．
∴P₁（3，0）．
②當(dāng)∠MAP₂=∠ABD=90°時，△ABD∽△MAP₂．
∴∠AP₂M=∠ADB
∵AP₁=AB，∠AP₁P₂=∠ABD=90°，
∴△AP₁P₂≌△ABD
∴P₁P₂=BD=4．
∵點P₂在第四象限，∴P₂（3，-4）．
答：符合條件的點P有兩個，P₁（3，0）、P₂（3，-4）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，以及三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，屬于綜合類題目．