Question

如圖所示：A是x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，以O(shè)A為邊在x軸下方作矩形OABC，使

AO

AB

=

4

5

，將點(diǎn)B沿經(jīng)過A點(diǎn)的某直線對折到OC邊上D點(diǎn)處，以B為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）經(jīng)過D點(diǎn)，并且與過A、D兩點(diǎn)的直線y=mx+n交于P點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）判斷點(diǎn)M（2，-3）能否成為矩形OABC的對稱中心？請說明理由；
（3）若點(diǎn)M（2，-3）始終在矩形OABC內(nèi)部，求S_△BDP的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

AO

AB

=

4

5

，可設(shè)A的坐標(biāo)為（4k，0），B的坐標(biāo)為（0，5k），又由折疊的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得m的值；
（2）由四邊形OABC是矩形，即可求得矩形OABC對稱中心為（2k，-2.5k），又由點(diǎn)M（2，-3），分別求得k的可能取值，得到矛盾，即可得點(diǎn)M（2，-3）不能成為矩形OABC的對稱中心；
（3）由直線y=mx+n過點(diǎn)A和D，求得直線AD的解析式為：y=

3

4

x-3k，又由拋物線y=a（x-4k）²-5k，過D點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式，聯(lián)立拋物線與直線，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，由S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB與M（2，-3）在矩形內(nèi)部，即可求得S_△BDP的取值范圍．

解答：解：（1）∵

AO

AB

=

4

5

，
∴設(shè)A的坐標(biāo)為（4k，0），B的坐標(biāo)為（4k，-5k），
根據(jù)題意得：AD=AB，
∴OD=

AD2-OA2

=3k，
∴D的坐標(biāo)為（0，-3k）；
∴

4km+n=0 n=-3k

，
解得：m=

3

4

；

（2）∵四邊形OABC是矩形，
∴矩形OABC對稱中心為（2k，-2.5k），
∵點(diǎn)M（2，-3），
2k=2，則k=1；
-2.5k=-3，則k=

6

5

；
∴矛盾，
∴M點(diǎn)不是矩形OABC的對稱中心；

（3）直線y=mx+n過點(diǎn)A和D，
∴直線AD的解析式為：y=

3

4

x-3k，
設(shè)拋物線y=a（x-4k）²-5k，過D點(diǎn)，
代入得：-3k=a（0-4k）²-5k，解得：a=

1

8k

，
拋物線為y=

1

8k

（x-4k）²-5k，
聯(lián)立拋物線與直線，
解得P點(diǎn)（14k，

15

2

k）
∴S_△BDP=S_△DAB+S_△PAB=

1

2

×5k×4k+

1

2

×5k×10k=35k²，
∵M(jìn)（2，-3）在矩形內(nèi)部，
∴

2＜4k -3＞-5k

，
∴k＞

3

5

，
∴S_△BDP＞35×（

3

5

）²=

63

5

，
即S_△BDP＞

63

5

．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形面積問題等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．