Question

如圖，△ABC中AB=AC，BC=6，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；
（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由；

Answer 1

解：（1）如圖，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴證得△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=CF，
又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，
∴F是BC的中點(diǎn)，即FC=BC=3，
∴CD=CF=；

（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段
如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，
過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF為等腰三角形，
∴PB=PF，
BE=EF，
∴PF=CQ，
∴FD=DC，
∴ED=，
∴ED為定值，
同理，如圖，若P在BA的延長線上，

作PM∥AC的延長線于M，
∴∠PMC=∠ACB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PMC，
∴PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD=DM，
，
綜上所述，線段ED的長度保持不變．
分析：（1）過點(diǎn)P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF，又因點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對(duì)等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ得出F是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)已知的BC的長，求出CF，即可得出CD的長．
（2）分兩種情況討論，第一種情況點(diǎn)P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF，再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．