Question

已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形并求出該矩形的面積；
（2）線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．當(dāng)PQ∥AB時(shí)即可得出四邊形MNQP是矩形，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出四邊形MNQP的面積；
（2）根據(jù)①當(dāng)0＜t＜1時(shí)；②當(dāng)1≤t≤2時(shí)；③當(dāng)2＜t＜3時(shí)，分別求出四邊形MNQP的面積，即四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AD=2，
當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CD垂直平分時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
即當(dāng)AM=

3

2

時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
∴t=

3

2

秒時(shí)，四邊形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=

3

2

3

，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S_{四邊形MNQP}=PM•PQ=

3

2

3

；

（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)P、Q都在AC上，并且四邊形PMNQ為直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=

PM

AM

，
∴PM=tan60°×AM=

3

AM=

3

t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=

3

AN=

3

（t+1），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（t+1）]=

3

t+

3

2

；
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，
點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，
PM=

3

t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

t+

3

（3-t）]×1=

3

2

3

；
③當(dāng)2≤t＜3時(shí)，點(diǎn)P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=

3

BM=

3

（4-t），QN=

3

BN=

3

（3-t），
∴S_{四邊形MNQP}=

1

2

（PM+QN）MN=

1

2

[

3

（3-t）+

3

（4-t）]=

7

2

3

-

3

t．    
 綜上所述：當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S_{四邊形MNQP}=

3

t+

3

2

；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S_{四邊形MNQP}=

3

2

3

；
當(dāng)2≤t＜3時(shí)，S_{四邊形MNQP}=

7

2

3

-

3

t．  （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，比較復(fù)雜，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合便可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的重要作用．