Question

13．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D在線段BC上（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交AB、AC于點F、G，EG∥BC，連接BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）判斷并證明四邊形BCGE的形狀．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△ADE都是等邊三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，所以∠EAB=∠DAC由此可以對稱結論．
（2）欲證明四邊形BCGE是平行四邊形只要證明EB∥CG，只要證明∠BEF=60°，∠CGE=120°即可．

解答 （1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
（2）結論四邊形BCGE是平行四邊形，
證明：∵△ABE≌△ACD，∠ABC=∠C=60°
∴∠ABE=∠C=60°，
∵EG∥BC，
∴∠EFB=∠ABC=60°，∠C+∠EGC=120°
∴△EFB是等邊三角形，∠EGC=120°
∴∠BEF=60°，
∴∠BEF+∠CGE=180°，
∴BE∥CG，
∵EG∥BC，
∴四邊形EBCG是平行四邊形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵，需要記住平行四邊形的判定方法，屬于中考常考題型．