Question

已知拋物線y=x²-2x-3經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P（1，k）在直線BC：y=x-3上，若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在以點(diǎn)A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：利用拋物線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線求出k值，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等分點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊和左邊兩種情況表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出a的值，即可得解．

解答：解：令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，A（-1，0），B（3，0），
∵點(diǎn)P（1，k）在y=x-3上，
∴k=1-3=-2，
∴點(diǎn)P（1，-2），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），若點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊，則N（a+2，-2），
代入拋物線得，（a+2）²-2（a+2）-3=-2，
a₁=-1-

2

，a₂=-1+

2

，
此時(shí)，點(diǎn)M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），
若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左邊，則點(diǎn)N（a-2，2），
代入拋物線得，（a-2）²-2（a-2）-3=2，
a₁=3-

6

，a₂=3+

6

，
此時(shí)，點(diǎn)M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），
綜上所述，存在點(diǎn)M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），使以點(diǎn)A、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于分情況討論．