Question

如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，則∠BME=∠CNE（不需證明）．
（溫馨提示：在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME=∠CNE．）
問題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷△OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；
問題二：如圖3，在△ABC中，AC＞AB，D點(diǎn)在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．

Answer 1

分析：（1）作出兩條中位線，根據(jù)中位線定理，找到相等的同位角和線段，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．
（2）利用平行線和中位線定理，可以證得三角形△FAG是等邊三角形，再進(jìn)一步確定∠FGD=∠FDG=30°，進(jìn)而求出∠AGD=90°，故△AGD的形狀可證．

解答：解：（1）取AC中點(diǎn)P，連接PF，PE，
可知PE=

AB

2

，
PE∥AB，
∴∠PEF=∠ANF，
同理PF=

CD

2

，
PF∥CD，
∴∠PFE=∠CME，
又PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN為等腰三角形．

（2）判斷出△AGD是直角三角形．
證明：如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴HF∥AB，HF=

1

2

AB，
同理，HE∥CD，HE=

1

2

CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等邊三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等邊三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是作出三條輔助線，構(gòu)造出和中位線定理相關(guān)的圖形．此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣，綜合性強(qiáng)．