Question

已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等邊三角形，還需添加一個條件．
現有下面三種說法：
①如果添加條件“AB=AC”，那么△ABC是等邊三角形；
②如果添加條件“tanB=tanC”，那么△ABC是等邊三角形；
③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等邊三角形．
上述說法中，正確的說法有

1. A.
   3個
2. B.
   2個
3. C.
   1個
4. D.
   0個

Answer 1

A
分析：若添加條件“AB=AC”，得到△ABC為等腰三角形，再由∠A為60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得證；若添加條件“tanB=tanC”，由B和C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值得到∠B=∠C，再由∠A為60°，利用三角形的內角和定理得到∠B=∠C=60°，即三個內角相等，可得出三角形ABC為等邊三角形，得證；若添加條件“邊AB、BC上的高相等”，如圖所示，由HL判定出直角三角形ACD與直角三角形AEC全等，由全等三角形的對應角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的內角和定理得到第三個角也為60°，即三內角相等，可得出三角形ABC為等邊三角形，得證，綜上，正確的個數為3個．
解答：若添加的條件為AB=AC，由∠A=60°，
利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；
若添加條件為tanB=tanC，可得出∠B=∠C，
又∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，
即∠A=∠B=∠C，
則△ABC為等邊三角形；
若添加的條件為邊AB、BC上的高相等，如圖所示：

已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求證：△ABC為等邊三角形．
證明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC為等邊三角形，
綜上，正確的說法有3個．
故選A
點評：此題考查了等邊三角形的判定，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的判定是解本題的關鍵．